Lagrangien \(\mathscr L\)
Fonction \(\mathscr L:U\times{\Bbb R}^m\to{\Bbb R}\) utilisée en
Optimisation sous contrainte d'égalité et définie par : $$\mathscr L:(x,\lambda)\mapsto f(x)+\langle{\lambda,h}\rangle $$
- permet de trouver les points qui satisfont la condition d'annulation du Théorème des extrémas liés via \(\partial_x\mathscr L(x_*,\lambda_*)=\partial_\lambda\mathscr L(x_*,\lambda_*)=0\)
- si cette condition est satisfaite, alors on a une condition suffisante pour caractériser un minimum local : \(\forall y\in\ker dh(x_*),\partial^2_{xx}\mathscr L(x_*,\lambda_*)(y,y)\gt 0\)
- dans ce cas, \(\exists\gamma\gt 0\) tel qu'au voisinage de \(x_*\) dans \(\{h=0\}\), on ait \(f(x)-f(x_*)\geqslant\frac\gamma2\lvert x-x_*\rvert^2\)
- on a également une condition nécessaire du second ordre : \(\forall y\in\ker dh(x_*),\partial^2_{xx}\mathscr L(x_*,\lambda_*)(y,y)\geqslant0\)
- en Optimisation sous contraintes mixtes d'égalité et d'inégalité, on définit le lagrangien par : $$\mathscr L:(x,\lambda,\mu)\mapsto f(x)+\langle{\lambda,g(x)}\rangle _E+\langle{\mu,h}\rangle _{{\Bbb R}^p}$$
